Đặt \(\left(\sqrt{5a+4};\sqrt{5b+4};\sqrt{5c+4}\right)=\left(x;y;z\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+z^2=17\\2\le x;y;z\le3\end{matrix}\right.\)

\(P=x+y+z\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\sqrt{51}\)

\(P_{max}=\sqrt{51}\) khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

\(2\le x\le3\Rightarrow\left(x-2\right)\left(x-3\right)\le0\Rightarrow x\ge\frac{x^2+6}{5}\)

Tương tự: \(y\ge\frac{y^2+6}{5}\) ; \(z\ge\frac{z^2+6}{5}\)

Cộng vế với vế: \(P\ge\frac{x^2+y^2+z^2+18}{5}=7\)

\(P_{min}=7\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và hoán vị

ai k mình k lại [ chỉ 3 người đầu tiên mà trên 10 điểm hỏi đáp ]

nè Cho a, b, c là ba số thực không âm và thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằngcăn(5a + 4) + căn(5b + 4) + căn(5c + 4) >= 7- Mạng Giáo Dục Pitago.Vn – Giải pháp giúp em học toán vững vàng!

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

\(3=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\Rightarrow a+b+c\ge3\)

Và 

\(VT^2=\left(\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}\right)^2\)

\(\le\left(5a+4+5b+4+5c+4\right)\left(1+1+1\right)\)

\(\Leftrightarrow VT^2\le15\left(a+b+c\right)+36\)

Mà \(3\le a+b+c\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow VT^2\le15\left(a+b+c\right)+12\left(a+b+c\right)=27\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow VT\le3\sqrt{3\left(a+b+c\right)}\)

Ta có đpcm

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Đặt \(\left(\sqrt{5a+4};\sqrt{5b+4};\sqrt{5c+4}\right)=\left(x;y;z\right)\) \(\left(2\le x;y;z\le3\right)\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=5\left(a+b+c\right)+12=5+12=17\)

Ta lại có: \(2\le x\le3\Rightarrow\left(x-2\right)\left(x-3\right)\le0\)\(\Rightarrow x^2-5x+6\le0\)

T/tự: \(y^2-5y+6\le0;z^2-5z+6\le0\)

Nên: \(\left(x^2-5x+6\right)+\left(y^2-5y+6\right)+\left(z^2-5z+6\right)\le0\)

\(\Rightarrow5\left(x+y+z\right)\ge x^2+y^2+z^2+18=17+18=35\)

\(\Rightarrow x+y+z\ge7\)

Đẳng thức xảy ra khi: \(\left(x;y;z\right)=\left(2;2;3\right)\) và các hoán vị

Vậy MinT=7 đạt được khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị

Đặt \(\left(\sqrt{5a+4};\sqrt{5b+4};\sqrt[]{5c+4}\right)=\left(x;y;z\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\le x;y;z\le3\\x^2+y^2+z^2=5\left(a+b+c\right)+12=17\end{matrix}\right.\)

Ta cần tìm GTNN của \(A=x+y+z\)

Do \(2\le x\le3\Rightarrow\left(x-2\right)\left(x-3\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow x^2-5x+6\le0\Leftrightarrow x\ge\frac{x^2+6}{5}\)

Hoàn toàn tương tự ta có: \(y\ge\frac{y^2+6}{5}\) ; \(z\ge\frac{z^2+6}{5}\)

Cộng vế với vế: \(x+y+z\ge\frac{x^2+y^2+z^2+18}{5}=7\)

\(\Rightarrow A_{min}=7\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(2;2;3\right)\) và các hoán vị hay \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị

Tìm trước khi hỏi : 

Đề vòng 1 chuyên sư phạm 2016-2017 - Tài liệu - Đề thi - Diễn đàn Toán học

Witch Rose

a,b,c" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.38px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">a,b,c không âm và a+b+c=1 nên 2≤t=5c+4≤3

a,b≥0⇒25ab+20(a+b)+16≥20(a+b)+16" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.38px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">a,b≥0⇒25ab+20(a+b)+16≥20(a+b)+16

⇔(5a+4)(5b+4)≥4(5a+5b+4)" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.38px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">⇔(5a+4)(5b+4)≥4(5a+5b+4)

⇔(5a+4+5b+4)2≥(2+5a+5b+4)2" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.38px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">⇔(5a+4+5b+4)2≥(2+5a+5b+4)2

⇔5a+4+5b+4≥2+9−5c=2+13−t2" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.38px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">⇔√5a+4+√5b+4≥2+√9−5c=2+√13

Em nghĩ đề là \(a,b,c\ge0\) thì dấu "=" mới xảy ra chứ ạ?Nếu như thế thì có lẽ là như vầy:

Do \(a,b,c\ge0\) và \(a+b+c=1\Rightarrow0\le a;b;c\le1\) (1)

Ta sẽ c/m BĐT phụ: \(\sqrt{5a+4}\ge a+2\)

\(\Leftrightarrow5a+4\ge a^2+4a+4\)

\(\Leftrightarrow a^2-a\le0\Leftrightarrow a\left(a-1\right)\le0\Leftrightarrow0\le a\le1\) (đúng theo (1)

Tương tự với 2 BĐT còn lại và cộng theo vế ta được: \(VT\ge\left(a+b+c\right)+6=7^{\left(đpcm\right)}\)